幻方及其起源

深蓝色的畅想

一、幻方及其起源
    在《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
    4    9    2
    3    5    7
    8    1    6
    这就是一个最简单的3阶平面幻方（三阶幻方，幻和为15，中间数字必填5）。

。。幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。公元13世纪的宋朝数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。杨辉称之为纵横图。
    我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
    在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。幻方图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的这种性质，称为幻方法则。


。。　关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的。也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。另外，前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:“万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者”,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。古人认为，奇妙的幻方蕴含着宇宙的法则。　　
    人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶……
    n阶幻方是由前n2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。例子：洛书，一个3阶幻方（三阶幻方，幻和为15，中间必填5）。



。。。高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
    人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n ^2+1) /2 ；其中n为幻方的阶数，所求的数为S。
    目前利用计算机编程序,可求解出任意阶幻方。但数字位数受电脑限制,实际上只能是有限范围内的任意阶。对于某些平方幻方,高次幻方,利用计算机辅助计算,也可快速求得。一次平面幻方,一次幻立方,一次多维幻方,甚至可用简单公式全部求得。某些类型的平方幻方,甚至高次高维幻方,也可用公式求得。。
    魔鬼幻方。如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。　　
    如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。
    15    10     3     6 　　
     4     5    16     9 　　
    14    11     2     7 　　
     1     8    13    12